på norsk (16) bolig (6) forbruker (5) økonomi (3) barn (2) historie (2) meninger (2) politikk (2) bil (1) dato (1) elektronikk (1) fortidsminner (1) in english (1) kake (1) kjeks (1) matematikk (1) mobil (1) music (1) naturfag (1) newage (1) oppskrift (1) radio (1) regning (1) sang (1) skeptic (1) tannpuss (1)

2010-04-12

Dommedagsmetoden: Finn ukedag for enhver dato!

28. juli 2061 er Halleys komet atter en gang på sitt nærmeste solen. Men hvilken ukedag faller denne datoen på?

Den kjente matematikeren John Conway laget en gang en metode kalt dommedagsalgoritmen som er en oppskrift for å kunne bestemme en hvilken som helst ukedag gitt at man får oppgitt en dato i den gregorianske kalenderen.

Husk at forskjellige land gikk over til gregoriansk kalender ved forskjellige tidspunkt. Så lenge man er i Vesten og forholder seg til datoer etter 1752 er man trygg. Algoritmen fungerer også etter år 10000, men da er det mer regnearbeid.

Algoritmen utnytter det faktum at en rekke datoer hvert år faller på samme ukedag, og Conway fant et mønster av dager i hver måned som faller på samme ukedag, og døpte den «dommedag». Deretter fant han en grei måte å finne denne dommedagen på ut fra hva slags år man er i. Først må vi altså lære oss hvordan vi finner denne dommedagen. Vi begynner med matematikken fra slutten av barneskolen. Jeg har prøvd å finne den enkleste mulige oppskriften på hvordan man gjør dette i hodet, og prøver å komme med så mange huskeregler som mulig, slik at man kan pugge enkelte ting på forhånd, istedenfor å regne i hodet.

Tolvgangeren

For å kunne utføre beregningene er det lurt å pugge tolvgangeren under 100, dvs.
  0 * 12 = 0
  1 * 12 = 12
  2 * 12 = 24
  3 * 12 = 36
  4 * 12 = 48
  5 * 12 = 60
  6 * 12 = 72
  7 * 12 = 84
  8 * 12 = 96

Dette bør man kunne på rams. Det er viktig å kunne gå begge veier. Dersom man blir spurt «hvor mange hele ganger går 76 opp i 12» bør svaret øyeblikkelig være 6. Samtidig må man ta vare på resten av divisjonen, som er 4. Det å finne divisjonsresten er en operasjon i seg selv (akkurat som divisjon og subtraksjon) og kalles "modulo" i matematikken og i dataprogrammer, og resten av denne teksten bruker jeg % som symbol for denne. 76 = 6 * 12 + 4.

Ankerdag for hundreåret

Det neste man må pugge er såkalte ankerdager, som er utgangspunktet for å finne såkalte dommedager. Disse er nummerert fra 0 til 3.
  0 = tirsdag
  1 = søndag
  2 = fredag
  3 = onsdag

En liten huskeregel kan være «Ti, sønn! Freon!»

En annen måte å huske det på er det engelske "tue – 2" altså "tue minus two", dvs. man starter på tirsdag og trekker fra to dager hver gang, fire ganger.

Hvert hundreår (f.eks. 1900-1999) har sin egen ankerdag. Man finner ankerdagen ved å finne ut hvor mange ganger de to første sifrene i årstallene går opp i 4. Ankerdagen er resten som blir igjen.

Eksempel: De to første sifrene i 2061 er 20 = 5 * 4 + 0. Det er ingen rest etter divisjonen, så ankerdagen er 0, dvs. en tirsdag.

Husk: ankerdag for 2061 (og hele 2000-tallet) er tirsdag

For å raskt finne ankerdagen kan man benytte seg av nærmeste resultat fra 12-gangeren og telle oppover fire og fire. Dersom vi er i år 6900 så vet vi at nærmeste trinn på 12-gangeren er 60. Dermed er 64 delelig på 4 og 68 vil også være delelig på 4. For å komme til 69 står vi altså igjen med 1, og ankerdagen vil være søndag. 6800 vil dermed ha tirsdag som ankerdag, mens 7000 vil ha fredag og 7100 onsdag. 1900-tallet har onsdag som ankerdag, og 2000-tallet har tirsdag som ankerdag. Disse to kan det også være lurt å pugge siden det er så vanlig å bli spurt om datoer i disse to hundreårene.

Dommedag for et spesifikt år

Vi har funnet den såkalte ankerdagen ved å se på de to første sifferne i årstallet, og skal nå finne dommedagen ved hjelp av ankerdagen og de to siste sifrene. Her kommer vi til den vanskeligste tingen å lære seg i hele dommedagsmetoden. Formelen er:
dommedag = ankerdag + ( Y/12 + Y%12 + (Y%12)/4 ) % 7

Delestreken er en heltallsdivisjon, så du skal finne ut hvor mange hele ganger tallet foran går opp i tallet etter. Dersom man utfører divisjonen med 12 på forhånd blir det lettere å sette opp formelen slik:
dommedag = ankerdag + (kvotient + rest + rest/4) % 7

Her må man til med litt hoderegning. Formelen for å finne dommedag slik at det er lett å regne den i hodet er å følge denne oppskriften:

  1. Hvor mange ganger går årstallet opp i 12? For 61 er det 5 ganger.

  2. Hva er resten etter forrige divisjon? Svaret er 1, siden 61 = 60 + 1 = 5 * 12 + 1.

  3. Hva er forrige svar (1) heltallsdividert med 4 ?  1 / 4 = 0

  4. Vi legger sammen de tre svarene over og får 5 + 1 + 0 = 6

  5. Dette resultatet heltallsdeler vi på 7 og finner resten. Siden 6 = 7*0 + 6, så er svaret 6.

  6. Dommedagen er ankerdagen + 6, dvs. tirsdag + 6 = mandag.

Husk: dommedag 2061 er mandag

Skuddår

I den gregorianske kalenderen er et skuddår et år som er delelig på 4. Dersom det er delelig på 100 (dvs. de to siste sifferne er 00) er det ikke et skuddår, dersom det ikke også er delelig på 400.

De to siste tilfellene er veldig enkle, så vi trenger bare å finne en enkel måte å finne ut om et årstall er delelig på fire.

Som man kanskje vet fra før av er alle tall som er partall delelige på to. Så vi kan med en gang fastslå at oddetallsår aldri er skuddår. 2061 er altså intet skuddår. Men hva med 2060?

For å vite om et årstall er delelig på 4 må vi se på de to siste sifferne i årstallet. Dersom det nest siste sifferet er et partall, må det siste sifferet være 0, 4 eller 8. Dersom det nest siste sifferet er et oddetall må det siste sifferet være 2 eller 6. 2060 er altså et skuddår. Likeledes er 2052, 2056, 2064 og 2068 også skuddår.

Når det gjelder hele hundreår, slik som f.eks. 1900 og 2000, så sier reglene for den gregorianske kalenderen at hele hundreår normalt sett ikke er skuddår, med mindre de kan deles på 400. Siden vi allerede i prinsippet har regnet ut dette da vi fant ankerdagen, så kan vi fastslå at det kun er skuddår for hele hundreår når ankerdagen er en tirsdag. Dette rimer jo bra med at 2000 var et skuddår.

Husk: 2061 er ikke et skuddår

Finn ukedag med dommedagen

Her må vi til med litt pugging igjen. Hver måned har et et visst antall dager som er den samme dagen som dommedag. Siden det går 7 dager mellom hver dommedag så trenger man ikke pugge alle 52. Her er de jeg synes er lettest å lære:

  1. Partallsmåneder etter skuddårsdagen, har følgende dommedager: 4/4, 6/6, 8/8, 10/10 og 12/12.

  2. Dommedager for oddetallsmåneder etter skuddårsdagen huskes lettest med minneregelen "I work 9 to 5 at 7-Eleven", for datoene er 9/5, 11/7, 5/9 og 7/11.

  3. 7/3 er alltid dommedag.

  4. 7/2 er også dommedag, bortsett fra i skuddår, der vi må legge til skuddårsdagen slik at det blir 8/2

  5. Den første dommedagen i januar er fire dager før dommedagen i februar. Dvs. 3/1 i vanlige år og 4/1 i skuddår.

Det kan være lurt å pugge januar- og februar-dommedagene for å øke hastigheten på hoderegningen din.

Eksempel

Vi har akkurat funnet ut at dommedagen i 2061 er MANDAG og ønsker å finne ut hvilken ukedag 28. juli er.

  1. Vi vet at 11/7 er mandag, siden det er en dommedag

  2. Da vet vi at 18/7 også er en mandag

  3. Da vet vi at 25/7 også er en mandag

  4. Dagen etter er 26/7 og er en tirsdag

  5. 27/7 er en onsdag

  6. 28/7 er en torsdag

Så 28. juli 2061 er en torsdag.

Fasit er enig, se http://www.timeanddate.com/calendar/?year=2061&country=18

Enda et eksempel

Halleys komet var også nærme solen den 13. mars 1759, og det var ikke lenge etter at vi innførte den gregorianske kalender i Norge.
17 = 4 * 4 + 1

Resten er 1, det vil si ankerdag er søndag.
59 = 4 * 12 + 11

Da finner vi dommedag slik:
(4 + 11 + 11 / 4) % 7
= (4 + 11 + 2) % 7
= 17 % 7
= (2 * 7 + 3) % 7
= 3

dommedag = ankerdag + 3 = søndag + 3 = onsdag

Vi vet at 7/3 er dommedag og da vil også 14/3 være dommedag, dvs. onsdag. 13/3 er dermed en tirsdag.

Derfor er 13. mars 1759 en tirsdag.

Se http://www.timeanddate.com/calendar/?year=1759&country=18

Se også den fantastisk slitsomme sangen Dommedag av Bare Egil Band på NRK.